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注重基礎與能力突出方法和思想

——2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數學試題簡評

成都樹德中學特級教師李勇

2015年高考數學試卷，遵循《考試大綱》及《考試說明（四川版）》要求，與近年來試題風格一致，切合當前數學教學實際，體現(xiàn)課程改革理念，符合高考考試性質，在平穩(wěn)推進的基礎上有所創(chuàng)新。試題設計立足于學科核心和主干，充分體現(xiàn)數學的科學價值和人文價值，將知識、能力和素質融為一體，深化能力立意，強化知識交匯，重點考查支撐數學學科體系的內容，充分考查基礎知識、基本方法、基本思想，深入考查考生的運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力、空間想象能力、應用意識和創(chuàng)新意識，突出考查數學思維、數學思想方法，合理考查學生的探究意識和學習潛能。

全卷難度設置符合高中學生數學學習現(xiàn)狀，重視教材考基礎，突出思維考能力，體現(xiàn)課改考探究，展現(xiàn)了數學的抽象性、邏輯性、應用性和創(chuàng)造性，突出試題的基礎性、綜合性、原創(chuàng)性和選拔性，試卷布局合理、層次分明，問題設計科學、表述規(guī)范，有利于準確測試不同層次考生的學習水平。

一、重視教材與基礎，突出核心內容

試題高度重視教材價值的挖掘與聯(lián)系，有的題目直接由教材的例題或習題改編，有的問題產生于教材背景。文理科1-8、11-13、6-19等題源于教材，又高于教材，充分發(fā)揮了教材在理解數學、理解教學等方面的價值。這種立足于教材編擬高考試題的理念和方法，充分保障了試題背景的公平性，能夠有效引導中學數學教學重視教材、深刻理解教材，對進一步推進課程改革、減輕學生過重的學業(yè)負擔具有良好的導向作用。

全卷重視基礎知識的全面考查，覆蓋了整個高中數學的所有知識板塊；試題設計立足于高中數學的核心和主干，對高中數學中的函數與導數、三角函數、概率統(tǒng)計、解析幾何、立體幾何、數列、向量、不等式等進行了重點考查。理科4、8、9、13、15、21，文科4、5、8、15、21等題，全面考查函數概念、性質等基礎知識；理科5、10、20，文科7、10、20等題，考查直線、圓、圓錐曲線的方程及其簡單應用，是解析幾何的基礎和主體內容；理科14、18題考查空間線面關系和面面夾角的計算，文科14、18題考查空間線面關系、三視圖和體積的計算；理科17題，文科3、17題，考查概率統(tǒng)計相關知識；文理科16題，考查數列相關知識；文科3題考查分層抽樣的概念，需要考生認識其本質屬性；理科14題考查空間線線角的計算，如果概念不清，即使運算無誤也不能獲得正確結果。這樣的內容設計，在全面考查基礎的同時，突出考查支撐學科體系的的內容，重視對基礎知識和通性通法的考查，對高中畢業(yè)生的數學基礎和素養(yǎng)進行重點測試，保證了試卷的內容效度，有利于中學數學教學重視基礎、強化核心內容和主干知識、回歸數學本質。

二、注重能力與方法，強化數學思維

試卷以能力立意設計試題，多角度、多層次地考查了運算求解能力、推理論證能力、空間想象能力、抽象概括能力、數據處理能力、應用意識和創(chuàng)新意識。在此基礎上，特別突出了對數學思維的全面、深刻考查，大量題目充分考查了觀察、聯(lián)想、類比、猜想、估算等數學思維方法與能力，對函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化、特殊與一般等數學思想進行了全面考查。理科15、16、21題，文科15、21題，既考查了幾何直觀、聯(lián)想、猜想、估算等直覺思維，又要求考生進行精確計算、嚴密推理；理科13、17題，文科8、17題，考查了運算求解能力、應用意識；文理科15題，考查了直覺猜想、抽象概括、推理論證和創(chuàng)新意識，對數學思維進行了全面考查，其特點是運算量小、思維量大；文理科16-21等題重點考查運算求解能力和推理論證能力；文理科20、21題，要求考生具備高水平的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數學探究意識和創(chuàng)新意識，考查了多種數學思想與方法。

全卷注重考查學生對數學基本概念、重要定理等的理解與應用，注意控制和減少繁瑣的運算。理科7、9、10、14、15、20、21題，文科7、9、10、14、15、21等題，如果靈活運用數形結合、化歸與轉化、特殊與一般等數學思想，就可簡化解題過程、避免繁瑣運算；文理科15題，雖然思維要求高，但在深刻理解問題本質的基礎上，運用函數與方程、數形結合思想解答，并不需要特殊技巧與復雜運算。這類問題背景深刻、構思巧妙、取材適當、設問合理、切合實際，側重考查考生對知識的理解和應用，強調科學性、嚴謹性、抽象性、探究性、綜合性和應用性的考查，能夠有效檢測考生將知識、方法遷移到不同情境的能力，從而檢測考生的思維廣度、深度以及進一步學習的潛能。

三、關注探究與創(chuàng)新，體現(xiàn)課改理念

試卷從學科整體和思維價值的高度設置問題情境，注重知識間的內在聯(lián)系與交匯；通過適當增強試題的綜合性，分層次設置試題難度，能更好地體現(xiàn)考試的選拔功能。理科9題涉及函數單調性、線性規(guī)劃與基本不等式，文理科10題聯(lián)系拋物線、圓、圓的切線和數形結合思想，具有較強的綜合性和一定的難度；理科19題綜合三角恒等變換與解三角形，立意鮮明、情境新穎、形式優(yōu)美，考查考生思維的靈活性；文理科21題，以對數函數、二次函數、導數、函數零點、不等式等知識為載體，考查考生綜合運用數學知識、數學方法、數學思想的能力。這樣的試題對數學思維的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性都有較高要求，具有一定的難度，解答這些問題，需要具有較強的分析問題、探究問題和解決問題的能力。

試題設計緊密結合數學學科特點，通過對探究意識、應用意識和創(chuàng)新意識的考查，充分體現(xiàn)了課程改革理念。文理科10、15、20、21等題考查了探究意識，考生需要深入分析問題情境，從特殊到一般、從直觀到抽象進行不同側面的探究，并合理運用相應的數學方法和思想才能準確、迅速解答。理科20題要求考生探究定點是否存在，若假設定點坐標直接求解則有不少運算障礙；若通過特殊情形的解決，尋求一般的、運動變化的問題的解決思路和方法，對具體的對象進行抽象概括，完成解答則相對簡單。這樣的問題設計，針對考生的探究意識和創(chuàng)新意識進行考查，保障了試題對較高學習水平層次考生的良好區(qū)分。理科13、17，文科8、17等題以考生熟悉的現(xiàn)實生活背景考查考生提煉數量關系、將現(xiàn)實問題轉化為數學問題并構造數學模型加以解決的能力，體現(xiàn)了應用意識和實踐能力的考查特點。文理21題展示了數學學科的抽象性和嚴謹性，要求考生具有高層次的理性思維，考生解答時可以采用“聯(lián)系幾何直觀—探索解題思路—提出合情猜想—構造輔助函數—結合估算精算—進行推理證明”的思路，整個解答過程與數學研究的過程基本一致，能較好地促進考生在數學學習的過程中掌握數學知識、探究數學問題和發(fā)現(xiàn)數學規(guī)律。這些試題具有立意深遠、背景深刻、設問巧妙等特點，富含思維價值，體現(xiàn)了課程改革理念，是檢測考生理性思維廣度、深度和學習潛能的良好素材。這樣的設計，對考生評價合理、科學，鼓勵積極、主動、探究式的學習，有利于引導中學數學教學注重提高學生的思維能力、發(fā)展應用意識和創(chuàng)新意識，對全面深化課程改革、提高中學數學教學質量有十分積極的作用。

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