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公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)學(xué)運(yùn)算中，計(jì)數(shù)問(wèn)題是一個(gè)?？伎键c(diǎn)，而這類(lèi)問(wèn)題也常出現(xiàn)困擾我們很多考生的難題。容斥問(wèn)題看起來(lái)復(fù)雜多變，且題目中的等量關(guān)系常常也不是很容易找出來(lái)，所以，常常使得我們的考生朋友們?cè)谝?jiàn)到這類(lèi)題目的時(shí)候會(huì)不知題目所云。

卓博教育專(zhuān)家針對(duì)容斥問(wèn)題進(jìn)行講解。容斥問(wèn)題是解決集合與集合的交集問(wèn)題的一類(lèi)題目。而容斥問(wèn)題的解題思路如它的名稱所言——先容后斥。

也就是在計(jì)算容斥問(wèn)題時(shí)，先把滿足于某條件各個(gè)集合包含的對(duì)象的數(shù)目先以加和的形式計(jì)算出來(lái)，也就是“先容”的過(guò)程，然后再把計(jì)算時(shí)計(jì)重了的對(duì)象數(shù)目以減的形式排斥出去，這就是所謂的“后斥”。我們?cè)谟?jì)數(shù)時(shí)必須要想辦法保證全面而無(wú)重復(fù)，這也就是容斥原理的核心思想。

觀察近幾年的公務(wù)員考試行測(cè)真題，我們發(fā)現(xiàn)容斥問(wèn)題題目條件比較容易出現(xiàn)錯(cuò)綜復(fù)雜的情況，所以在解決容斥問(wèn)題我們推薦考生朋友們學(xué)會(huì)借助圖形去解決，即文氏圖。

文氏圖是用封閉曲線內(nèi)部的區(qū)域來(lái)表示集合及其集合之間關(guān)系的圖形。

例如：

某個(gè)班有學(xué)生100人，在一次考試中，語(yǔ)文考試達(dá)到90分的有70人，數(shù)學(xué)考試達(dá)到90分的有75人。

(1)若該班每名學(xué)生在語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科目中至少有一科達(dá)到90分以上，求兩科都達(dá)到90分以上的有多少人?

(2)若不知該班各個(gè)個(gè)體考得如何，求兩科達(dá)到90分以上的最多有多少人?最少有多少人?

如上圖1，圖中A表示語(yǔ)文考試達(dá)到90分的人的集合，圖中B表示數(shù)學(xué)考試達(dá)到90分的人組成的集合.

解疑釋惑：

若題目條件如(1)所言，那么上圖1中的A、B、C(黃、綠、紅三塊)則分別表示僅語(yǔ)文達(dá)90分以上的集合，僅數(shù)學(xué)達(dá)90分以上的集合和兩科都達(dá) 90分以上的集合，因?yàn)椤霸摪嗝棵麑W(xué)生在語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科目中至少有一科達(dá)到90分以上”，所以這三個(gè)集合的總數(shù)加起來(lái)就是全班總?cè)藬?shù)100。而根據(jù)前文所述的容斥原理解題思路“先容后斥”，咱們?cè)谟?jì)算這題的過(guò)程中就可以得到等量關(guān)系：

100=70+75-C

所以C=70+75-100=45。

該題如第一問(wèn)則是相對(duì)簡(jiǎn)單的情況，給出兩個(gè)量，和他們的并集，要求兩者交集的情況就用并集減去總量即可。

若題目條件如(2)所言，想求兩者交集最多，即求C最大的情況，那么，就讓A、B盡量多重疊，極限情況就是A完全容于B，當(dāng)中，即70人;

而要想求兩者最小，那么就是讓A、B盡量少重疊，極限情況是什么呢?

要想C盡量小，那么A,B之間就要盡量地拉開(kāi)距離，拉得最開(kāi)的情況是最后A,B,C三塊占滿整個(gè)全集I，此時(shí)有C最小，全集I=黃+綠+紅=70+57-C

故兩者交集最小為C=70+75-I=45。

求交集最小的情況，在圖形上直接顯示為集合之間拉得最開(kāi)，僅限情況是最終各塊占滿整個(gè)全集，此時(shí)即得交集最小。

對(duì)于復(fù)雜的容斥問(wèn)題，我們通過(guò)話文氏圖的方式輔助我們分析等量關(guān)系，能夠大大提高解題速率，找到題目的突破口，大家一定要勤加練習(xí)，好好掌握此種方法。

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