2017年寧波大學理學院碩士自命題考試大綱(數(shù)學分析)
來源:寧波大學 閱讀:573 次 日期:2016-10-08 16:36:30
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本《數(shù)學分析》考試大綱適用于寧波大學數(shù)學相關專業(yè)碩士研究生入學考試。

一、本考試科目簡介:

《數(shù)學分析》是數(shù)學專業(yè)最重要的基礎課之一,是數(shù)學專業(yè)的學生繼續(xù)學習后繼課程的基礎,它的理論方法和內容既涉及到幾百年來分析數(shù)學的嚴謹性和邏輯性,又與現(xiàn)代數(shù)學的各個領域有著密切的聯(lián)系。是從事數(shù)學理論及其應用工作的必備知識。本大綱制定的的依據(jù)是①根據(jù)教育部頒發(fā)《數(shù)學分析》教學大綱的基本要求。②根據(jù)我國一些國優(yōu)教材所講到基本內容和知識點。要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念基本理論,掌握研究分析領域的基本方法,基本上掌握數(shù)學分析的論證方法,具備較熟練的演算技能和初步的應用能力及邏輯推理能力。

二、考試內容及具體要求:

第1章 實數(shù)集與函數(shù)

(1)了解實數(shù)域及性質

(2)掌握幾種主要不等式及應用。

(3)熟練掌握領域,上確界,下確界,確界原理。

(4)牢固掌握函數(shù)復合、基本初等涵數(shù)、初等函數(shù)及某些特性(單調性、周期性、奇偶性、有界性等)。

第2章 數(shù)列極限

(1)熟練掌握數(shù)列極限的定義。

(2)掌握收斂數(shù)列的若干性質(惟一性、保序性等)。

(3)掌握數(shù)列收斂的條件(單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等)。

第3章 函數(shù)極限

(1)熟練掌握使用“ε-δ”語言,敘述各類型函數(shù)極限。

(2)掌握函數(shù)極限的若干性質。

(3)掌握函數(shù)極限存在的條件(歸結原則,柯西準則,左、右極限、單調有界)。

(4)熟練應用兩個特殊極限求函數(shù)的極限。

(5)牢固掌握無窮小(大)的定義、性質、階的比較。

第4章 函數(shù)連續(xù)性

(1)熟練掌握在X0點連續(xù)的定義及其等價定義。

(2)掌握間斷點定以及分類。

(3)了解在區(qū)間上連續(xù)的定義,能使用左右極限的方法求極限。

(4)掌握在一點連續(xù)性質及在區(qū)間上連續(xù)性質。

(5)了解初等函數(shù)的連續(xù)性。

第5章 導數(shù)與微分

(1)熟練掌握導數(shù)的定義,幾何、物理意義。

(2)牢固記住求導法則、求導公式。

(3)會求各類的導數(shù)(復合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導數(shù)(萊布尼茲公式))。

(4)掌握微分的概念,并會用微分進行近似計算。

(5)深刻理解連續(xù)、可導、可微之關系。

第6章 微分中值定理、不定式極限

(1)牢固掌握微分中值定理及應用(包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)。

(2)會用洛比達法則求極限,(掌握如何將其他類型的不定型轉化為0/0型)。

第1-6章的重點與難點

(1)重點:①基本概念:極限、連續(xù)、可導、可微。②基本定理:單調有界,柯西準則,歸結原則,微分中值定理。③基本計算:求極限的方法與類型。

(2)難點:應用微分中值定理,證明問題,連續(xù)函數(shù)性質應用。

第7章 導數(shù)應用

(1)掌握單調與符號的關系,并用它證明f(x)單調,不等式、求單調區(qū)間、極值等。

(2)利用判定凹凸性及拐點。

(3)了解凸函數(shù)及性質

(4)會求曲線各種類型的漸近線性。

(5)了解方程近似解的牛頓切線法。

第8章 極限與連續(xù)(續(xù))

(1)掌握下列基本概念:區(qū)間套、柯西列、聚點、予列。

(2)了解刻劃實數(shù)完備性的幾個定理的等階性,并掌握各定理的條件與結論。

(3)學會用上述定理證明其他問題,如連續(xù)函數(shù)性質定理等。

第9章 不定積分

(1)掌握原函數(shù)與不定積分的概念。

(2)記住基本積分公式。

(3)熟練掌握換元法、分部積分法。

(4)了解有理函數(shù)積分步驟,并會求可化為有理函數(shù)的積分。

第10章 定積分

(1)掌握定積分定義、性質。

(2)了解可積條件,可積類。

(3)深刻理解微積分基本定理,并會熟練應用。

(4)熟練計算定積分。

(5)掌握廣義積分收斂定義及判別法,會計算廣義積分。

第11章 定積分應用

(10熟練計算各種平面圖形面積。

(2)會求旋轉體或已知截面面積的體積。

(3)會利用定積分求孤長、曲率、旋轉體的側面積。

(4)會用微元法求解某些物理問題(壓力、變力功、靜力矩、重心等)。

第12章 數(shù)項級數(shù)

(1)掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質。

(2)熟練掌握正項級數(shù)的斂、散判別法。

(3)掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。

第7-12章的重點、難點

(1)重點:導數(shù)的應用,積分法則,微積分基本定理,數(shù)項級數(shù)斂散判別,廣義積分斂散判別。

(2)難點:實數(shù)完備性定理及應用;定積分的可積性及可積極類的討論,定積分及數(shù)項級數(shù)的理論證明,廣義積分及數(shù)項級數(shù)斂散的阿貝爾,狄利克雷判別法。

第13章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

(1)了解函數(shù)列與函數(shù)項級之間的關系,掌握函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義。

(2)掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。

(3)函數(shù)列的極限函數(shù),函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)性質。

第14章 冪級數(shù)

(1)熟練冪級數(shù)收斂域,收斂半徑,及和函數(shù)的求法。

(2)了解冪級數(shù)的若干性質。

(3)了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展式的方法。特別牢固記住六種基本初等函數(shù)的馬克勞林展式。

(4)會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式。

第15章 付里葉級數(shù)

(1)熟記付里葉系數(shù)公式,并會求之。

(2)掌握以2π為周期函數(shù)的付里葉展式。

(3)理解掌握定義在(0,1)上的函數(shù)可以展成余弦級數(shù),正弦級數(shù),一般付里葉級數(shù)。

(4)了解收斂性定理,并掌握,貝塞爾不等式,勒貝格引理等。

第16章 多元函數(shù)極限與選擇

(1)了解平面點集的若干概念。

(2)掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質。

(3)掌握二次極限,并掌握二重極限與二次極限的關系。

(4)掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義、性質。

(5)了解二元函數(shù)關于兩個變量全體連續(xù)與分別連續(xù)的關系。

第17章 多元函數(shù)微分學

(1)熟練掌握,可微,偏導的意義。

(2)掌握二元函數(shù)可微,偏導,連續(xù)以及偏導函數(shù)連續(xù),概念之間關系。

(3)會計算各種類型的偏導,全微分。

(4)會求空間曲面的切平面,法線??臻g曲線的法平面與切線。

(5)會求函數(shù)的方向導數(shù)與梯度。

(6)會求二元函數(shù)的泰勒展式及無條件極值。

第18章 隱函數(shù)定理及其應用

(1)掌握由一個方程確定的隱函數(shù)的條件,隱函數(shù)性質,隱函數(shù)的導數(shù)(偏導)公式。

(2)掌握由m個方程n個變元組成方程組,確定n-m個隱函數(shù)組的條件,并會求這n-m個隱函數(shù)對各個變元的偏導數(shù)。

(3)會求空間曲線的切線與法平面。

(4)會求空間曲面的切平面與法線。

(5)掌握條件極值的拉格朗日數(shù)乘法。

第19章 向量函數(shù)微分(一般了解)

第13-19章 重點、難點

(1)重點:函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別,求冪級數(shù)的收斂域,和函數(shù)及其性質,冪級數(shù)展式,多元函數(shù)極限,連續(xù)、偏導、可微概念。計算部分:求各類偏導,全微分,求方向導數(shù)與梯度,求方程(組)確定隱函數(shù)(組)的偏導。應用部分;無條件極值,條件極值,曲線的切線與法平向,曲面的切平面與法線。

(2)難點:函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別及性質,條件極值。

第20章 重積分

(1)了解二重積分,三重積分定義與性質。

(2)掌握二重積分的換序,變量代換的方法。

(3)了解三重積分的換序,會用球、柱、廣義球坐標進行代換計算三重積分。

(4)含參量正常積分的定義及性質。

(5)重積分應用:求曲面面積,轉動慣量,重心坐標等。

第21章 含參量非正常積分

(1)掌握含參量非正常積分一致收斂定義、性質。

(2)掌握含參量非正常積分一致收斂判別。

(3)會用積分號下求導、積分號下做積分方法計算一些定積分或廣義積分。

(4)了解歐拉積分,遞推公式及性質。

第22章 曲線積分與曲面積分

(1)熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計算方法。

(2)了解兩種曲線積分,兩種曲面積分關系。

(3)熟練運用格林公式,高斯公式,斯托克斯公式計算。

(4)掌握積分與路徑無關的條件。

(5)了解場論初步知識,并會求梯度,散度,旋度。

第20-22章的重點和難點

(1)重點:二重積分換序,計算方法;曲線,曲面積分的計算。格林公式,高斯公式,斯托克斯公式的應用,積分與路徑無關性質的應用。

(2)難點:含參量廣義積分的一致收斂判別,三重積分的換序,重積分的應用。

三、題型分布:

填空題,選擇題,解答題,計算題,證明題,應用題。

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