一、基本內(nèi)容
1、多項(xiàng)式
本部分要求掌握一元多項(xiàng)式及其整除問題、多項(xiàng)式函數(shù)、最大公因式、重因式和因式分解定理等有關(guān)概念和基本結(jié)論,能夠進(jìn)行多項(xiàng)式的有關(guān)計(jì)算和有關(guān)問題的證明。
2、行列式
(1)定義與性質(zhì)
要求熟悉排列、逆序、對換等概念;理解行列式的定義;掌握行列式的性質(zhì)。
(2)計(jì)算與證明
較好掌握行列式的計(jì)算技巧和方法,能較熟練地計(jì)算行列式和證明有關(guān)行列式的結(jié)論。
3、向量的線性相關(guān)性與線性方程組
(1)n維向量空間
掌握n維向量空間的定義、向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)等概念并能證明有關(guān)結(jié)論。
(2)向量組的秩和矩陣的秩
掌握向量組的秩、矩陣的秩等有關(guān)概念,可利用矩陣秩的概念討論線性方程組的可解性,并能證明有關(guān)結(jié)論。
(3)線性方程組解的結(jié)構(gòu)
掌握線性方程組解的判定定理,會求有解的線性方程組的通解,熟練掌握線性方程組常用的解
法,并能證明有關(guān)結(jié)論。
4、矩陣
(1)矩陣的概念與運(yùn)算
熟練掌握矩陣的運(yùn)算法則,如矩陣的加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、方陣取行列式等。熟悉矩陣與行列式的關(guān)系。會求矩陣的冪,會求解矩陣方程等。
(2)矩陣的逆、分塊矩陣
掌握可逆矩陣、奇異矩陣、非退化矩陣等概念。會計(jì)算方陣的伴隨矩陣,能計(jì)算可逆陣的逆矩陣。能利用分塊方法進(jìn)行矩陣運(yùn)算。能證明有關(guān)結(jié)論。
(3)初等矩陣與初等變換
掌握矩陣的初等變換和初等矩陣的概念,明確二者關(guān)系。能熟練進(jìn)行矩陣的初等變換,能利用初等變換求解線性方程組,并能進(jìn)行有關(guān)證明。
(4) 相似矩陣與矩陣合同
熟悉相似矩陣與矩陣合同的概念,能求矩陣變換并能將矩陣對角化,能證明有關(guān)結(jié)論。
5、二次型
(1)基本概念與基本變換
掌握二次型、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、對稱矩陣等概念,明確彼此的關(guān)系??蓪⒍涡突癁闃?biāo)準(zhǔn)型,可求與對稱矩陣合同的對角矩陣,可由已知對稱矩陣求二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型,并能證明有關(guān)結(jié)論。
(2)正定、負(fù)定二次型
掌握正定、負(fù)定二次型、半正定、半負(fù)定矩陣等概念及其判別方法,并能證明有關(guān)結(jié)論。
6、線性空間
(1)基本概念:
掌握線性空間、維數(shù)、基、坐標(biāo)、線性子空間及直和等概念,并能證明基本性質(zhì)。
(2)基變換與坐標(biāo)變換
掌握基變換與坐標(biāo)變換方法,熟悉并能證明有關(guān)結(jié)論。
7、線性變換
(1)定義、運(yùn)算與性質(zhì)
掌握線性變換的定義、運(yùn)算與性質(zhì)。熟悉可逆變換、逆變換,并能證明基本性質(zhì)。
(2)線性變換的矩陣
對線性空間的線性變換,明確其在給定基下的矩陣與該變換的對應(yīng)關(guān)系,并能證明有關(guān)結(jié)論。
(3)特征值與特征向量
能較熟練計(jì)算線性變換和方陣的特征值與相應(yīng)的特征向量,能進(jìn)行有關(guān)應(yīng)用,并能證明有關(guān)結(jié)
論。
8、 矩陣
(1) 矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形
會求 矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形,會求 矩陣的初等因子、不變因子、行列式因子。
(2)矩陣的若兒當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形與有理標(biāo)準(zhǔn)形
會計(jì)算矩陣的若兒當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形與有理標(biāo)準(zhǔn)形,熟悉并能證明有關(guān)結(jié)論。
9、歐幾里得空間
掌握歐幾里得空間的定義與性質(zhì),掌握內(nèi)積、正交性、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念及有關(guān)計(jì)算方法,能證明有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論。
二、考試要求(包括考試時(shí)間、總分、考試方式、題型、分?jǐn)?shù)比例等)
考試時(shí)間:180分鐘
總 分:150分
考試方式:筆試,閉卷
題 型:填空題,計(jì)算與證明題
分?jǐn)?shù)比例:填空題(60分)占40%,計(jì)算與證明題(90分)占60%。
三、主要參考書目
1、《高等代數(shù)》(第三版),北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組著, 高等教育出版社 2003 或之后版本
2、《高等代數(shù)(上下冊)》(第二版), 丘維聲著, 高等教育出版社, 1999 或之后版本