601 數(shù)學分析 考試基本要求

一 實數(shù)集與函數(shù)

(1)掌握實數(shù)的基本性質(zhì)和確界原理，建立實數(shù)集確界概念;(2)理解函數(shù)的概念，熟悉與函數(shù)性態(tài)有關的一些常見術語。

二 數(shù)列極限

(1)理解數(shù)列極限的概念 (2)了解收斂數(shù)列的性質(zhì)，理解數(shù)列收斂性的判別法。掌握并會證明收斂數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、單調(diào)性、保號性及不等式性質(zhì);(3)掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運算定理、迫斂性定理及單調(diào)性定理，并會用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限。

三 函數(shù)極限

(1)準確建立函數(shù)極限(包括單側極限)概念，理解函數(shù)極限的ε-δ，ε-M定義;(2)掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性質(zhì)等;(3)掌握Heine定理與Cauchy準則;(4)掌握兩個重要極限;(5) 掌握無窮小(大)量及其階的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。

四 函數(shù)的連續(xù)性

(1)理解函數(shù)在一點連續(xù)(含單側連續(xù))的定義;(2)掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)的有理運算性質(zhì)并能加以證明，熟悉復合函數(shù)的連續(xù)性和反函數(shù)的連續(xù)性;(3) 理解初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的，并能運用連續(xù)性的概念以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)加以證明，能熟練運用這一結論求初等函數(shù)的極限;(4)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)，理解其幾何意義，并能在各種有關的具體問題中加以運用。

五 導數(shù)和微分

(1)掌握導數(shù)與微分概念，了解它們的幾何意義;(2)能熟練運用導數(shù)的運算性質(zhì)和求導法則求函數(shù)的導數(shù)(特別是求復合函數(shù)的導數(shù));(3)理解單側導數(shù)，可導性和連續(xù)性的關系，高階導數(shù)的求法;(4)了解導數(shù)的幾何意義，微分在近似計算中的應用。

六 微分中值定理及其應用

(1)理解并掌握中值定理的幾何意義。(2)掌握常用的一些Taylor公式;掌握Taylor公式中的Lagrange余項和Peano余項。(3)能靈活運用L’Hospital法則處理不定式極限。(4)掌握利用導數(shù)性質(zhì)討論函數(shù)性質(zhì)的方法。(5)掌握用微分學知識解決應用問題的基本能力，如函數(shù)單調(diào)性的判定，不等式的證明，極限問題等。

七 實數(shù)的完備性

(1)理解刻劃實數(shù)完備性的確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、致密性定理、有界覆蓋定理、Cauchy收斂原理等幾個等價命題，并且會用確界定理證明一些問題;(2)會用“閉區(qū)間套定理”的二分法證明;“致密性定理”的抽子列法證明，并能證明其它的一些定理;(3)會用單調(diào)有界定理與數(shù)列極限的Cauchy收斂原理來證明一些極限存在與不存在;(4)掌握運用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，理解其證明的思想方法;(5)了解數(shù)列的上極限和下極限的概念及其與數(shù)列極限的關系。

八 不定積分

(1) 掌握原函數(shù)與不定積分的概念;(2) 熟練掌握并能靈活應用基本積分公式;(3) 熟練掌握湊微分法;(4)掌握換元積分法，特別能較熟練地使用三角代換、根式代換;(5)掌握用分部積分法化不定積分成代數(shù)方程，從而求解不定積分的方法;(7)掌握部分分式法解有理函數(shù)的不定積分的方法;(8)能靈活地處理三角函數(shù)的不定積分。

九 定積分

(1)理解定積分的定義及其幾何意義和物理意義;(2)了解達Darboux上、下和的性質(zhì);(3)掌握可積的充要條件，并能用以證明三類函數(shù)的可積性;(4)掌握定積分的性質(zhì)，并能進行簡單的推理論證和計算;(5)掌握積分上限函數(shù)的性質(zhì)，并能在解題中應用這個性質(zhì);(6)掌握Newton-Leibniz公式，能熟練地進行積分計算;(7)能綜合運用換元法、分部積分法和定積分的性質(zhì)進行定積分的計算。

十 定積分的應用

(1)掌握平面圖形的面積、平面曲線的弧長;(2) 掌握已知平行截面面積的立體的體積、旋轉曲面的面積;(3) 理解微元法;(4) 了解積分在物理中的某些應用、定積分的近似計算。

十一 反常積分

(1)理解兩種類型反常積分的定義、性質(zhì);(2)會用定義與性質(zhì)計算兩種反常積分值;(3)掌握兩種反常積分收斂的判斷法：比較判別法、Cauchy判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法來判別積分收斂;(4)能用比較判別法、Cauchy判別法、Cauchy收斂原理判別反常積分的斂散性;(5)掌握兩類積分絕對收斂和條件收斂概念。

十二 數(shù)項級數(shù)

(1)理解數(shù)項級數(shù)和數(shù)列極限的關系，會用“

-N”語言表述級數(shù)收斂或發(fā)散。(2)掌握Cauchy收斂原理，能用Cauchy原理證明級數(shù)收斂與發(fā)散，熟練掌握級數(shù)的必要條件。(3)掌握正項級數(shù)斂散的比較原則，Cauchy判別法，達朗貝爾判別法，Cauchy積分判別法。(4)掌握Leibniz判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法，判斷級數(shù)的條件收斂。(5)理解級數(shù)收斂、絕對收斂、條件收斂之間的關系，了解絕對收斂和條件收斂級數(shù)的主要性質(zhì)，會對含有一個參數(shù)的級數(shù)確定其絕對收斂域和條件收斂域。

十三 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

(1)能用數(shù)項級數(shù)收斂判別法討論函數(shù)項級數(shù)的收斂性，研究函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列收斂域;(2)理解一致收斂概念，能從定義出發(fā)證明函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)的一致收斂和非一致收斂;(3)掌握Cauchy收斂原理，并能應用于判別一致收斂與非一致收斂;(4)掌握各種判別法，研究函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性;(5)利用一致收斂性證明極限函數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性。反過來，從和函數(shù)或極限函數(shù)的分析性質(zhì)研究函數(shù)項級數(shù)或函數(shù)列的一致收斂性(Dini定理)。

十四 冪級數(shù)

(1)掌握求冪級數(shù)的收斂半徑的方法，確定收斂區(qū)間端點的斂散性;(2)掌握冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的內(nèi)閉一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì);(3)用等比數(shù)列求和公式，或通過利用冪級數(shù)逐項求導逐項求積的性質(zhì)，可化為等比數(shù)列求和求出某些冪級數(shù)的和函數(shù)的初等形式。

十五 Fourier級數(shù)

(1)了解三角級數(shù)的正交性，并能在某些積分計算中加以應用;(2)會計算可積函數(shù)的Fourier系數(shù);(3)掌握收斂定理的條件與結論，會用收斂定理將以2

為周期的函數(shù)展成Fourier級數(shù);(4)掌握奇、偶函數(shù)的Fourier級數(shù)展開的特點，會將定義在某區(qū)間上的函數(shù)按要求展成正弦級數(shù)或余弦級數(shù);(5)能利用Fourier展開求一些簡單級數(shù)的和;(6)了解黎曼-勒貝格引理的內(nèi)容及它的一些簡單應用。

十六 多元函數(shù)的極限和連續(xù)

(1)掌握平面點集、鄰域、中心鄰域的表示法;(2)會判別一般平面點集是開集還是閉集，有界還是無界，是否是區(qū)域、開區(qū)域、閉區(qū)域，會寫出其邊界;(3)了解平面點集的矩形套定理、聚點定理、有限覆蓋定理，理解它們與直線上有關定理相互關系;(4)掌握平面點列收斂的ε-N定義及柯西收斂原理;(5)理解二元函數(shù)的概念及幾何意義，并能推廣到多元函數(shù);會確定一般二元函數(shù)的定義域及連續(xù)范圍;(6)理解二元函數(shù)極限ε-N定義，會依定義證明不太復雜的二重極限;(7)掌握累次極限概念，能通過具體反例分析二重極限與累次極限的關系;(8)理解二元函數(shù)連續(xù)性及一致連續(xù)性的定義，會依定義討論連續(xù)性及有關的簡單命題，理解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

十七 多元函數(shù)微分學

(1)掌握偏導數(shù)與全微分的定義、復合函數(shù)的求導法則;(2)掌握可微的條件、復合函數(shù)的全微分、一階全微分形式不變性、高階偏導數(shù)、中值定理、Taylor公式;(3)理解可微性幾何意義及應用、極值問題;(4)了解方向?qū)?shù)與梯度。

十八 隱函數(shù)定理及其應用

(1)理解隱函數(shù)定理的有關概念，及隱函數(shù)存在的條件;(2)了解隱函數(shù)組，反函數(shù)組的有關概念，理解二元隱函數(shù)組存在的條件，了解反函數(shù)組存在的條件;(3)掌握隱函數(shù)的微分法在幾何方面的應用，會把實際問題抽象為條件極值并予以解決。

十九 含參量積分

(1)理解含參變量常見積分作為參量的函數(shù)，掌握它的連續(xù)性、可微性和可積性的條件，并能應用這些條件討論一些含參量常見積分的有關性質(zhì);(2)理解含參量廣義積分及一致收斂概念，會從定義或Cauchy收斂原理出發(fā)證明積分的一致收斂性或非一致收斂性;(3)掌握和利用M-判別法、Dirichlet判別法、Abel判別法，判別一些常見積分的一致收斂性;(4)掌握含參量廣義積分的分析性質(zhì)：連續(xù)性、可微性、可積性;(5)掌握Euler積分的定義、性質(zhì)、遞推公式及它們之間的關系，并用于計算積分。

二十 曲線積分

(1)掌握第一型曲線積分的定義、第一型曲線積分的計算、第二型曲線積分的定義、第二型曲線積分的計算;(2)了解第一型曲線積分的意義、第二型 曲線積分的意義、兩類曲線積分的關系。

二十一 重積分

(1)掌握將重積分化為累次積分的計算方法，并會交換積分順序;(2)掌握二重積分的極坐標變換，三重積分的柱坐標、球坐標、廣義球坐標變換，掌握一些簡單的一般變換，以達到簡化重積分計算的目的;(3)能正確地使用對稱性;正確地處理被積函數(shù)中含有絕對值符號及一般分段函數(shù)的重積分計算;(4)能用重積分計算平面圖形的面積，空間立體的體積、物體的質(zhì)量、重心、轉動慣量等。(5)了解

重積分。

二十二 曲面積分

(1)掌握第一型曲面積分的概念、幾何意義和計算;(2)理解曲面的側，熟練掌握第二型曲面積分的定義、物理意義和計算，了解兩類曲面積分的聯(lián)系(3)掌握Gauss公式與Stokes公式;(4)了解場論初步。