太陽繞著地球運動，這種運動就叫做太陽的“周年視運動”。晚上我們仰望天空，就會覺得整個天空是一個以地球為球心的球體，日月星辰都鑲嵌在這個球體上。——這個球就叫做“天球”，日月星辰(嚴格來說是它們的投影)都在這個天球上運動。

太陽周年視運動，就是地球公轉(zhuǎn)在天球上的投影。太陽在天球上的運動軌跡就叫“黃道”，月球在天球上的運行軌跡就叫“白道”，對了，天球還有赤道，那是地球赤道在天球上的投影。

包括日月星辰在內(nèi)的所有星體在天球上的運動都是可以觀察和測量的，現(xiàn)在你知道古人是怎么算出來一年的長度了吧?——對的，就是測量太陽在黃道上運行的周期。

具體用什么方法測量呢?首先要明白，太陽的周年視運動的直觀表現(xiàn)，就是它從南到北、又從北到南的回歸性。簡單地講，就是夏至?xí)r太陽最靠近北方，然后慢慢南移，到冬至?xí)r最靠近南方，然后又慢慢北移。直觀地來看，就是冬至?xí)r物體的影子最長，夏至?xí)r影子最短。

那么現(xiàn)在就好辦了，要測量回歸年(也就是太陽在黃道上運行一周的時間)，我們只需要測出兩個冬至之間的時間就行了。——所以，要首先確定冬至是什么時候(也就是冬至點)。

古人

怎么確定冬至呢?也很簡單，在地上立根桿子，然后看一年中影子最長的那個時間點，就是冬至了。這個東西，叫做圭表，也就是測量回歸年用的工具，立著的那個叫“表”，也就是我們前面說的桿子，用來產(chǎn)生影的，水平的那個叫“圭”，也就是一個刻度尺，上面有刻度，用來測量影子長度的。

原理說起來很簡單，但在實際操作中就很復(fù)雜了，因為這主要牽扯到一個測量精度問題。因為桿的影子邊緣不可能是清晰的，總是模模糊糊的，這就使得測桿影總不能精確。最早，人們想的解決辦法是盡可能將刻度細化，從分到厘，到毫，到秒。但是，對提高測量精度幫助不大。

最后的完美方案是元朝郭守敬提出的。他在河南登封建造了一座觀象臺，就是上面這個東西：

這個觀象臺和普通的圭表相比，第一個優(yōu)點是高大，其高度是普通圭表的5倍，這樣一來，影子也就相應(yīng)變長，利于測量。此外，更加重要的是，郭守敬發(fā)明了一個輔助觀測儀器，叫“景符”。

景符其實就是一個有旋轉(zhuǎn)軸的銅片，可以在底座上上下旋轉(zhuǎn)，銅片的正中有一個小孔，測量是，將景符放在觀象臺的水平圭尺上，太陽光通過觀象臺頂部的缺口照射下來，在頂部缺口處放置一橫梁，在地面上的水平圭尺上就會有一道橫梁的陰影，然后移動景符，使陰影通過景符上的小孔，利用小孔成像的原理，在圭尺上就會產(chǎn)生一個內(nèi)含橫梁的太陽影像，調(diào)解景符，使得橫梁中分太陽影像，這時小孔成像中橫梁所在的刻度，就是豎表的影長。

堅持測量，一年中影長最長的那一時刻，就是冬至點，兩個冬至點之間的時長，就是一個回歸年長度。郭守敬所測量的回歸年長度為365.2425天，和現(xiàn)代測量值365.2422天高度一致。

但是，冬至點不可能總在正午，如果單純靠觀測，很難得到365.2425這么一個精確的數(shù)值。確實是的。一個小數(shù)點后4位數(shù)的精確數(shù)值，是不可能靠觀測(尤其是古代的觀測)得到的。這個數(shù)據(jù)其實是對觀測數(shù)據(jù)進行處理后，才能得出的。而這個數(shù)據(jù)處理方法，則是祖沖之發(fā)明的。

祖沖之曾經(jīng)詳細論述過他是如何處理數(shù)據(jù)，從而得到精確冬至點的。他說：“大明五年十月十日影一丈七寸七分半，十一月二十五日一丈八寸一分太，二十六日一丈七寸五分強，折取其中，則中天冬至應(yīng)在十一月三日。求其蚤(早)晚，令后二日影相減，則一日差率也，倍之為法;前二日減，以百刻乘之為實。以法除實，得冬至加時在夜半后三十一刻，在元嘉歷后一日，天數(shù)之正也。”

這段話翻譯成白話文，就是說劉宋大明5年10月10日這天測量的影長為10.775尺，11月25日影長為10.8175尺(“太”是古代的一個計數(shù)符號，是最小單位的3/4)，26日影長為10.7508尺(“強”也是古代的一個計數(shù)符號，是最小單位的1/12)。那么，現(xiàn)在求冬至點的準確時刻。

我們不翻譯祖沖之的原文了，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言進行說明。首先，我們知道冬至是在10月10日到11月25日之間的(你問怎么知道的，按照幾百上千你的測量經(jīng)驗知道的)，而且，我們可以做這樣的假設(shè)：冬至點前后的影長變化是對稱的(也就是冬至點前一刻和后一刻影長相等)。

那么，現(xiàn)在就可以進行數(shù)據(jù)處理了。做這樣一個圖，橫軸是時間，縱軸是影長。設(shè)A點為10月10日，其影長為a(a=10.775)，B點是11月25日，影長為b(b=10.8175)，C點是11月26日，影長為c(c=10.7508)。

冬至點必然在AB之間，咱們假設(shè)是E點，在這一時刻，影長最長。D點為AB的中點(因為A是10月10日，B是11月25日，則D點可知，為11月3日0刻)現(xiàn)在要求E點，則我們只需要算出DE長度就行了。

因為b>c,所以在B、C之間，必然有一個A的對稱點A1，其影長a1=a.

DE=AE-AD (1)

AE=(AB+BA1)/2 (2)

AD=AB/2 (3)

歷法知識：古人是怎么算出來一年有365天的?

將(2)、(3)式代入(1)式，得DE=BA1/2 (4)

根據(jù)三角形相似性原理，(b-a1)/(b-c)=BA1/BC

所以，BA1=(b-a1)·BC/(b-c)

因為BC為25日至26日，即1晝夜時長，而1晝夜即為100刻(古代百刻制計時，一晝夜為100刻)，

因此BA1=100(b-a)/(b-c)

將其代入(4)式，得

DE=50×(b-a)/(b-c)

所以，DE=50×(10.8175-10.775)/(10.8175-10.7508)=31(刻)

也就是說，大明5年的冬至點是在11月3日子時31刻。

祖沖之發(fā)明的這個算法，成為了以后中國人求冬至點的經(jīng)典算法，郭守敬也是采用這個算法。郭守敬經(jīng)過自己的測量，同時采用了自祖沖之以來，他認為最精確的6個冬至點的數(shù)據(jù)，最后得出了回歸年為365.2425天的結(jié)論。